minder dan 5% speling op een meetkundevraag

Tags:

Opgave - IMO 1991 dag 1 vraag 1

Van een driehoek ABC is $I$ het middelpunt van de ingeschreven cirkel.
De binnenbissectrices van de hoeken A, B en C snijden de overstaande
zijden respectievelijk in $A_0$, $B_0$ en $C_0$. Bewijs dat
$\frac14 <\frac{|AI|| BI|| CI|}{|AA_0| |BB_0||CC_0|} \le \frac{8}{27}$

Oplossing

We hebben $\frac{|AI|}{|AA_0|}=\frac{|AB|}{|AB|+|BA_0|}$ wegens de bissectricestelling in driehoek $ABA_0$. We kunnen $|BA_0|$ exact berekenen i.f.v $a$, $b$ en $c$.

Er geldt $\frac{|BA_0|}{|CA_0|}=\frac cb$ en $|BA_0|+|CA_0|=a$, dus $|BA_0|=\frac{ac}{b+c}$. Dus $|AB|+|BA_0|=\frac c{b+c}\cdot(a+b+c)$.

Analoog de andere gelijkheden, en het te bewijzen herschrijft zich als $\frac14<\prod_{cyc}\frac{b+c}{a+b+c}\leq\frac8{27}$.

De rechtse ongelijkheid is waar wegens AM-GM want $(a+b)(b+c)(a+c)\leq\left(\frac23\cdot(a+b+c)\right)^3$.

Voor de linkse ongelijkheid stellen we $a=x+y$, $b=y+z$, $c=x+z$ en $p=x+y+z$ zodat we hebben $\frac14<\frac{(p+x)(p+y)(p+z)}{8p^3}$.

Als we de teller uitwerken hebben we $p^3+(x+y+z)p^2+(xy+yz+xz)p+xyz> 2p^3$. (De laatste 2 termen kunnen niet $0$ zijn, want dan moeten minstens $2$ van $x,y,z$ nul zijn, maar dan is minstens één van $a,b,c$ nul, wat niet kan.)

Dus $\frac{(p+x)(p+y)(p+z)}{8p^3}>\frac{2p^3}{8p^3}=\frac14$ en we zijn klaar.