BxMO 2023

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Vind alle functies $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ zodat
\begin{align*}
(x-y)\bigl(f(x)+f(y)\bigr)\leq f\bigl(x^2-y^2\bigr)\qquad\text{voor alle }x,y\in\mathbb{R}.
\end{align*}

Vraag 2 Opgelost!

Vind alle gehele $k \ge 1$ die aan volgende eigenschap voldoen: gegeven $k$ verschillende kleuren, indien elk geheel getal gekleurd wordt in één van deze kleuren, moeten er gehele getallen $a_1< a_2< ...< a_{2023}$ van dezelfde kleur bestaan zodat $a_2-a_1$, $a_3-a_2$, ..., $a_{2023}-a_{2022}$ allen machten van twee zijn.

Vraag 3

Zij $ABC$ een driehoek met $I$ het middelpunt van de ingeschreven cirkel en $\omega$ de omgeschreven cirkel. Zij $N$ het tweede snijpunt van de lijn (rechte) $AI$ met $\omega$. De lijn (rechte) door $I$ loodrecht op lijn (rechte) $AI$ snijdt lijn (rechte) $BC$, lijnstuk $[AB]$, en lijnstuk $[AC]$ in de punten $D$, $E$, en $F$, respectievelijk. De omgeschreven cirkel van driehoek $AEF$ snijdt $\omega$ opnieuw in $P$, en lijnen (rechtes) $PN$ en $BC$ snijden in $Q$. Bewijs dat lijnen (rechtes) $IQ$ en $DN$ snijden op $\omega$.

Vraag 4

Een natuurlijk getal $n>0$ wordt vriendelijk genoemd indien elke twee aan elkaar grenzende cijfers, bekeken in basis $10$, exact $1$ verschillen. Bijvoorbeeld, 6787 is vriendelijk, maar 211 en 901 niet.
Vind alle oneven natuurlijke getallen $m$ waarvoor er een vriendelijk getal bestaat dat deelbaar is door $64m$.