Kleuren van getallen

Voor $k=1$ is het triviaal.
Voor $k=2$ gaan we bewijzen dat het werkt.
Stel, $ZVVA$, dat de twee kleuren zwart en wit zijn.
We gaan dit bewijzen met inductie op $n$, voor de getallen $a_1 < a_2 < \cdots < a_{n}$.

Bewijs: Voor $n=1$ is het triviaal.
Inductiehypothese: Stel het geldt voor $n$ dus $a_1 < a_2 < \cdots < a_{n}$ zodat $a_2 - a_1, a_3 - a_2, \cdots , a_{n} - a_{n-1}$ allen machten van twee zijn en stel dat alle $a_i$ wit zijn.

Dan voor $n+1$.
Construeer een tweede rij $b_n = a_1 - 2^n$. Dus $b_1 > b_2 > \cdots > b_{n+1}$.
Neem de eerste $n+1$ getallen uit deze rij. Als ze van dezelfde kleur zijn, stel zwart, dan geldt $b_i - b_{i+1} = a_1 - 2^i - a_1 + 2^{i+1} = 2^i(2-1) = 2^i$ en dat is een macht van twee.
Dan als (minstens) een van de $b_i$ niet zwart is dan heeft hij dezelfde kleur als alle $a_i$.
Maar we weten dat $b_i < a_1$ en dan krijgen we $a_1 - b_i = a_1 - a_1 + 2^i = 2^i$ en dat is een macht
van twee en dus hebben we in elk van de gevallen een rij met $n+1$ getallen gevonden
die voldoen aan de eigenschap.
Dus ons inductie-argument is afgerond. QED

Dan voor $k>2$ verdelen we de getallen in hun rest modulo $3$ en zo is elk verschil van twee getallen in elke kleur een veelvoud van $3$ en dus kan het geen macht van twee zijn.

Conclusie: $k$ heeft als enige oplossingen $1$ en $2$. En dus zijn we klaar. QED