Functie-ongelijkheid

We starten met twee lemmas aan te tonen

f(0)=0

Laat $x=1$ en $y=0$ dat geeft $f(1) + f(0) \leq f(1)$ ofwel $f(0) \leq 0$.

We vullen dan $x=y$ in en krijgen $0 \leq f(0)$, dit gecombineerd met $f(0) \leq 0$ geeft $f(0) = 0$.

f is een oneven functie

Vervolgens vullen we $y=-x$ in en krijgen $2x(f(x) + f(-x)) \leq f(0) = 0$ dus voor $x>0$ krijgen we $f(x) \leq -f(-x)$.

Dan $x=0$ en $y=x$ geeft $-xf(x) \leq f(-x^2) \Rightarrow xf(x) \geq -f(-x^2)$.
Dan $y=0$ geeft $xf(x) \leq f(x^2)$, dus $f(x^2) \geq xf(x) \geq -f(-x^2)$.
Bijgevolg voor $x>0$ volgt $f(x) \geq -f(-x)$.

Dan uit $f(x) \leq -f(-x)$ en $f(x) \geq -f(-x)$ voor alle $x>0$ volgt $f(x) = -f(-x)$ voor $x>0$.
Voor $x<0$ vul $x = -x$ in $f(x) = -f(-x)$ en we krijgen $f(-x) = -f(x)$ ofwel $-f(-x) = f(x)$, dus voor alle $x$ is $f(x)$ oneven.

We vullen in de opgave $x=y$ en $y=x$ en krijgen $$(y-x)(f(x) + f(y)) \leq f(-x^2 + y^2)$$
ofwel $$-(x-y)(f(x) + f(y)) \leq -f(x^2 - y^2)$$
ofwel $$(x-y)(f(x) + f(y)) \geq f(x^2 - y^2)$$
ofwel $$(x-y)(f(x) + f(y)) = f(x^2 - y^2)$$
Uitschrijven geeft $$xf(x) + xf(y) - yf(x) - yf(y) = f(x^2 - y^2)$$
Dan vullen we $y=-y$ en dat geeft $(x+y)(f(x) + f(-y)) = f(x^2 - y^2) \iff (x+y)(f(x) - f(y)) = f(x^2 - y^2)$.
Uitschrijven geeft $$xf(x) - xf(y) + yf(x) - yf(y) = f(x^2 - y^2)$$
Uit dit volgt $$xf(x) - xf(y) + yf(x) - yf(y) = xf(x) + xf(y) - yf(x) - yf(y)$$
Voor $x,y \neq 0$, vereenvoudigen we als volgt $$2yf(x) = 2xf(y) \iff yf(x) = xf(y) \iff \frac{f(x)}{x} = \frac{f(y)}{y}$$ dus $\frac{f(x)}{x}$ is constant voor alle $x$ dus $$\frac{f(x)}{x} = c \iff f(x) = cx$$
voor een constante $c \in \mathbb R$ (merk op dat het ook voor $x=0$
klopt). Als we dit invullen geeft dit inderdaad een oplossing en dus zijn we klaar.