BxMO 2021

Dag 1

Vraag 1

(a) Bewijs voor alle $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ met $a + b + c + d = 0$,

$$\max(a, b) + \max(a, c) + \max(a, d) + \max(b, c) + \max(b, d) + \max(c, d) \geq 0$$

(b) Vind het grootste natuurlijke getal $k$ zodat het mogelijk is om $k$ van de zes maxima in bovenstaande ongelijkheid te vervangen door minima, zodat de ongelijkheid nog steeds geldt voor alle $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ met $a + b + c + d = 0$.

Vraag 2

Er zijn een aantal keien geplaatst op een $2021 \times 2021$-bord. Voor elk vakje $S$ definiëren we de keienverzameling als de verzameling van alle keien in dezelfde rij of kolom als $S$ (als er een kei op $S$ ligt, behoort deze ook tot de keienverzameling).
Stel dat elke twee vakjes een verschillende keienverzameling hebben, hoeveel keien liggen er dan minstens op het bord?

Vraag 3 Opgelost!

Een koordenvierhoek $ABXC$ heeft middelpunt van de omgeschreven cirkel $O$. Zij $D$ een punt op $BX$ zodat $ |AD| = |BD|$. Zij $E$ een punt op $CX$ zodat $ |AE| = |CE|$. Bewijs dat het middelpunt van de omgeschreven cirkel van $\triangle DEX$ op de middelloodlijn van $OA$ ligt.

Vraag 4 Opgelost!

Een rij $a_1, a_2, a_3, \ldots$ van positieve gehele getallen voldoet aan $a_1 > 5$ en $a_{n+1} = 5 + 6 + \cdots + a_n$ voor alle positieve natuurlijke $n$. Bepaal alle priemgetallen $p$ zodat, onafhankelijk van de waarde van $a_1$, deze rij een veelvoud van $p$ bevat.