Omcentrum op middelloodlijn

Noem het middelpunt van de omgeschreven cirkel van $\triangle DEX$ $M$.
Noem het midden van $[AB]$ $F$, en noem het midden van $[AC]$ $G$.
Er is gegeven dat $|AD|=|BD|$, dus $D$ ligt op de middelloodlijn van $[AB]$. Bovendien ligt $D$ op $BX$, dus $D$ is het snijpunt van $BX$ en de middelloodlijn van $[AB]$. Analoog is $E$ het snijpunt van $CX$ en de middelloodlijn van $[AC]$.
In iedere cirkel gaat de middelloodlijn van een koorde door het middelpunt van die cirkel. Daarom zijn $D$, $F$ en $O$ collineair, met uiteraard $\angle AFO=90°$. Om dezelfde reden zijn ook $E$, $O$ en $G$ collineair, met $\angle AGO=90°$.

Via angle-chasing, bekomen we dat $OADEX$ een koordenvijfhoek is.
De hoeken hangen hierbij af van de exacte configuratie.
We gaan dit na voor 1 geval (andere analoog).

Nu geldt:
$\angle EXD=180°-\angle CXD$ (supplementaire hoeken)
$\Longrightarrow \angle EXD=180°-(180°-\angle CAB)$ (overstaande hoeken in koordenvierhoek $ABXC$ zijn supplementair)
$\Longrightarrow \angle EXD=\angle CAB$ ($1$)

Er geldt ook:
$\angle EOD=180°-\angle GOF$ (supplementaire hoeken)
$\Longrightarrow \angle EOD=180°-(360°-\angle AGO-\angle OFA-\angle GAF)$ (hoekensom in vierhoek $AFOG$)
$\Longrightarrow \angle EOD=180°-(360°-90°-90°-\angle GAF)$ ($\angle AGO=\angle AFO=90°$)
$\Longrightarrow \angle EOD=\angle GAF=\angle CAB$ ($2$)
$\Longrightarrow \angle EXD=\angle EOD$ (zie ($1$) en ($2$))
$\Longrightarrow$ $DOXE$ is een koordenvierhoek. (gelijke omtrekshoeken) ($3$)

Er geldt:
$|AD|=|DB|$ (gegeven)
$\Longrightarrow$ $\triangle ADB$ is een gelijkbenige driehoek met top $D$.
$\Longrightarrow \angle DAB=\angle ABD$
$\Longrightarrow 2*\angle ABD=\angle DAB+\angle ABD$ ($4$)

Er geldt:
$\angle AOX=2*\angle ACX$ (middelpuntshoek=2*omtrekshoek)
$\Longrightarrow \angle AOX=2*(180°-\angle ABX)$ (overstaande hoeken in koordenvierhoek $ABXC$ zijn supplementair)
$\Longrightarrow \angle AOX=2*\angle ABD$ (supplementaire hoeken)
$\Longrightarrow \angle AOX=\angle DAB+\angle ABD$ (zie ($4$))
$\Longrightarrow \angle AOX=180°-\angle ADB$ (hoekensom in $\triangle ADB$)
$\Longrightarrow \angle AOX=180°-\angle ADX$
$\Longrightarrow$ $ADXO$ is een koordenvierhoek. (overstaande hoeken in vierhoek $ADXO$ zijn supplementair) ($5$)
$\Longrightarrow$ $OADEX$ is een koordenvijfhoek met als middelpunt van de omgeschreven cirkel $M$. (zie ($3$) en ($5$))

Echter, in iedere cirkel gaat de middelloodlijn van een koorde door het middelpunt van die cirkel, dus de middelloodlijn van $[OA]$ gaat door $M$, het middelpunt van de omgeschreven cirkel van $OADEX$, en dus ook het middelpunt van de omgeschreven cirkel van $\triangle DEX$, zoals gewenst.