Rijtje niet deelbaar door p

Je ziet snel dat \[a_{n+1}=\frac{a_n(a_n+1)}{2}-10 \qquad (1)\] gewoon som van de eerste $a_n$ getallen min de som van de eerste $4$ getallen.

We willen nu een $a_1$ vinden dat congruent is met $a_2 \pmod p$, dit impliceert duidelijk dat alle termen dus congruent zijn met $a_1 \pmod p$:
Dit komt omdat dan geldt dat vb. $a_3 = \frac{a_2(a_2+1)}{2} - 10 \equiv \frac{a_1(a_1+1)}{2} - 10 = a_2 \equiv a_1 \pmod{p}$ dan. Dit gaat dus voor alle termen in de rij gelden.

We lossen dus de volgende vergelijking op (we stellen dat $p \neq 2$ eerst):
$a_2 = \frac{(a_1)(a_1+1)}{2}-10 \equiv a_1 \pmod p$
Dit valt echter te herschijven als
$(a_1)(a_1-1)\equiv 20 \pmod p$
Wat gelijkwaardig is met:
$(a_1-5)(a_1+4) \equiv 0 \pmod p$
Door nu $a_1 \equiv -4 \pmod p$ te nemen (vb $a_1 = 4p-4 >5$), zal $a_2 \equiv -4 \pmod p$ gelden en dus meteen $a_n \equiv -4 \pmod p$ voor alle $n$. Voor alle oneven priemgetallen $p$ geldt dat deze rij geen veelvoud van $p$ bevat, aangezien $a_1$ niet deelbaar is door $p$.

Er rest ons nog enkel het geval $p=2$.
Als $a_1$ even is, is $2|a_1$ en is deze rij beschouwen dus niet nuttig.
Als $a_1 \equiv 3 \pmod{4}$, dan zien we wegens (1) dat $a_2$ even zal zijn.
Stel nu dat $a_1 \equiv 1$ mod 4. Zij $v_{2}(a_{1}-1)=n$ met $a_1 = 2^{n}q +1$, $q$ een oneven getal (en $n \ge 2$).
Gebruikmakend van de formule in (1) zien we dat \[a_{2}=(2^{n}*q+1)*(2^{n-1}*q+1)= 2^{2n-1}*q^{2}+(2^{n}+2^{n-1})+1\] en hebben we $v_{2}(a_2-1)=n-1$. Dit toont aan dat de rij $b_n = v_2(a_n-1)$ telkens met eentje daalt, (met gegeven $b_1 = n$). Hierdoor hebben we $b_{n+1} = v_{2}(a_{n+1} - 1) = 0$, en dus $a_{n+1}$ een even getal.

We concluderen dat enkel $p=2$ voldoet aan de vraag.