APMO 2005

Vraag 1 Opgelost!

Bewijs dat voor ieder irrationaal reëel getal $a$, er twee irrationale reële getallen $b$ en $b'$ bestaan zodat $a+b$ en $ab'$ rationaal zijn, terwijl $ab$ en $a+b'$ irrationaal zijn.

Vraag 2 Opgelost!

Zij $a,b,c$ postieve reële getallen zodat $abc=8$. Bewijs dat
$$\frac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}}+\frac{b^2}{\sqrt{(1+b^3)(1+c^3)}} +\frac{c^2}{\sqrt{(1+c^3)(1+a^3)}}\geq\frac43.$$

Vraag 3 Opgelost!

Bewijs dat er een driehoek bestaat die in 2005 congruente driehoekjes verdeeld kan worden.

Vraag 4

In een klein stadje zijn er $n\times n$ huizen, met index $(i,j)$ voor $1\leq i,j\leq n$ met $(1,1)$ het huis in de linkerbovenhoek, waar $i$ en $j$ respectievelijk de rij- en kolomindices zijn. Op het tijdstip 0 breekt er vuur uit in het huis met index $(1,c)$ met $c\leq\frac n2$. Tijdens ieder tijdsinterval $[t,t+1]$ verdedigt de brandweer een huis een huis dat nog niet in brand staat terwijl het vuur zich verspreidt naar alle onverdedigde buren van ieder huis dat in brand stond op tijdstip $t$ (een huis met index $(i,j)$ is een buur van huis met index $(k,l)$ als $|i-k|+|j-l|=1$). Eénmaal een huis verdedigd is, blijft het verdedigd gedurende de ganse tijd omwille van de vochtigheid. Het proces eindigt wanneer het vuur zich niet langer kan verspreiden. Wat is het maximum aantal huizen dat door de brandweer gered kan worden?

Vraag 5

In een driehoek $ABC$ liggen de punten $M$ en $N$ op de zijden $AB$ en $AC$ respectievelijk zodat $MB=BC=CN$. Stel $R$ en $r$ gelijk aan de straal van de omgeschreven en ingeschreven cirkel van driehoek $ABC$ respectievelijk. Druk de verhouding $MN/BC$ uit in termen van $R$ en $r$.