Home › Archief › Internationale Olympiades › APMO › 2005 › irrationaal

irrationaal

Tags:

Opgave - APMO 2005 vraag 1

Bewijs dat voor ieder irrationaal reëel getal $a$, er twee irrationale reële getallen $b$ en $b'$ bestaan zodat $a+b$ en $ab'$ rationaal zijn, terwijl $ab$ en $a+b'$ irrationaal zijn.

Oplossing

Ingediend door Psycho

Aangezien $(2-a)a-(1-a)a=a$ irrationaal is, is het onmogelijk dat zowel $(2-a)a$ als $(1-a)a$ rationaal zijn. Stel $b$ gelijk aan $2-a$ of $1-a$ zodat $ab$ irrationaal is en $a+b$ bijgevolg rationaal.

Aangezien $\displaystyle{\left(a+\frac2a\right)-\left(a+\frac1a\right)=\frac1a}$ irrationaal is, is het onmogelijk dat zowel $\displaystyle{\left(a+\frac2a\right)}$ als $\displaystyle{\left(a+\frac1a\right)}$ rationaal zijn. Stel $b'$ gelijk aan $\displaystyle\frac2a$ of $\displaystyle\frac1a$ zodat $a+b'$ irrationaal is en $ab'$ bijgevolg rationaal.