ongelijkheid

Tags:

Opgave - APMO 2005 vraag 2

Zij $a,b,c$ postieve reële getallen zodat $abc=8$ . Bewijs dat

$\frac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}}+\frac{b^2}{\sqrt{(1+b^3)(1+c^3)}} +\frac{c^2}{\sqrt{(1+c^3)(1+a^3)}}\geq\frac43.$

Ingediend door Peter

Merk vooreerst op dat $\sqrt{1+a^3}=\sqrt{(1+a)(1-a+a^2)}\le\frac{(1+a) (1-a+a^2)}{2}=\frac{a^2+2}{2}$ . (AM-GM)

Het volstaat dus te bewijzen dat

$\sum_{cyc}\frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}\ge \frac43,$

wat equivalent is met

$\sum_{cyc}3a^2(c^2+2)\ge(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2).$

Daar staat, na vereenvoudiging: $2a^2+2b^2+2c^2 + a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geq 72$ , wat direct uit 2x AM-GM volgt.