ongelijkheid
Opgave - APMO 2005 vraag 2
Zij $a,b,c$ postieve reële getallen zodat $abc=8$. Bewijs dat
$$\frac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}}+\frac{b^2}{\sqrt{(1+b^3)(1+c^3)}} +\frac{c^2}{\sqrt{(1+c^3)(1+a^3)}}\geq\frac43.$$
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 1 gast online.
Oplossing
Merk vooreerst op dat $\sqrt{1+a^3}=\sqrt{(1+a)(1-a+a^2)}\le\frac{(1+a) (1-a+a^2)}{2}=\frac{a^2+2}{2}$. (AM-GM)
Het volstaat dus te bewijzen dat $$\sum_{cyc}\frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}\ge \frac43,$$ wat equivalent is met $$\sum_{cyc}3a^2(c^2+2)\ge(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2).$$
Daar staat, na vereenvoudiging: $2a^2+2b^2+2c^2 + a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geq 72$, wat direct uit 2x AM-GM volgt.