APMO 2001

Vraag 1 Opgelost!

Voor een natuurlijk getal $n$, stel $S(n)$ gelijk aan de som van de cijfers van $n$ in decimale voorstelling. Elk natuurlijk getal dat je bekomt door het verwijderen van meerdere (minimum één) cijfers van de rechterkant van de decimale voorstelling van $n$ wordt een stompje van $n$ genoemd. Zij $T(n)$ de som van alle stompjes van $n$. Bewijs dan dat $n=S(n)+9T(n)$.

Vraag 2 Opgelost!

Vind het grootste natuurlijk getal $N$ zodat het aantal getallen in de verzameling $\{1,2,...,N\}$ die deelbaar zijn door 3 gelijk is aan het aantal natuurlijke getallen in die verzameling die deelbaar zijn door 5 of 7 (of beide).

Vraag 3 Opgelost!

Gegeven zijn 2 gelijke regelmatige $n-$hoeken $S$ en $T$ in het vlak, zodanig dat hun overlappingsgebied een $2n-$hoek vormt $(n\geq3)$. De zijden van $S$ worden in het rood gekleurd, die van $T$ in het blauw. Bewijs dat de som van de lengtes van de blauwe zijden van de veelhoek $S\cap T$ gelijk is aan de som van de lengtes van zijn rode zijden.

Vraag 4

Een punt in het vlak met een Cartesiaans coördinatensysteem wordt gemengd genoemd als één van zijn coördinaten rationaal is en het andere irrationaal. Vind alle veeltermen met reële coëfficiënten zodat hun grafieken geen enkel gemengd punt bevatten.

Vraag 5

Vind het grootste natuurlijk getal $n$, zodat er $n+4$ punten $A,B,C,D,X_1,...,X_n$ zijn in het vlak met $AB\neq CD$ die voldoen aan de volgende voorwaarde: voor iedere $i=1,2,...,n$ zijn de driehoeken $ABX_i$ en $CDX_i$ congruent.