deelbaarheid

$N=65$
Dit werkt want $\frac{63}{3}=21$, $\frac{65}{5}=13$ en $\frac{63}{7}=9$ dus $21=13+9-1$. We moeten $-1$ doen omdat we anders $35$ dubbel tellen.
Laten we nu $A$ het aantal getallen in de verzameling van getallen tot $N$ die deelbaar zijn door 3 nemen, en $B$ Het aantal getallen in de verzameling van getallen tot $N$ die deelbaar zijn door 7 of 5. Voor elke getal van $66$ tot 70 geldt dat $A>B$
Nu is $70\equiv 1\pmod3$, $70\equiv 0\pmod5$ en $70\equiv 0\pmod7$
We kunnen nu voor elk natuurlijk getal tot en met $105$ controleren dat ze niet werken door bij 70 telkens een 5-voud of 7-voud op te tellen, en te merken dat $A>B$ altijd zal gelden.
Nu is $105\equiv 0\pmod{3,5,7}$. Bij $105$ geldt dat $A=B+2$ (weeral omdat we $35,70$ en $105$ niet mogen dubbel tellen). Maar omdat bij de getallen van 1 tot en met 105 er geen enkel bij is waar $B-1>A$, kan $A=B$ nooit meer gelden voor getallen groter dan 105.
$A-B$ zal trouwens steeds groter worden omdat we telkens een 35-voud slechts één keer mogen tellen.
Bijgevolg is $65$ de grootst mogelijke $N$.