blauwe en rode zijden
Opgave - APMO 2001 vraag 3
Gegeven zijn 2 gelijke regelmatige $n-$hoeken $S$ en $T$ in het vlak, zodanig dat hun overlappingsgebied een $2n-$hoek vormt $(n\geq3)$. De zijden van $S$ worden in het rood gekleurd, die van $T$ in het blauw. Bewijs dat de som van de lengtes van de blauwe zijden van de veelhoek $S\cap T$ gelijk is aan de som van de lengtes van zijn rode zijden.
- login om te reageren
Oplossing
We tekenen de n-hoeken en definieren de blauwe en rode zijden.
De 2n-hoek heeft nu slechts $2$ groottes van hoeken
De $2n$ driehoekjes rond onze 2n-hoek zullen gelijkvormig zijn.
We kunnen nu elk blauw lijnstuk uitbreiden tot een blauw driehoekje langs buiten.
TB: som perimeter/ omtrek blauwe driehoeken = som omtrek rode driehoeken
Nu zijn er 3 soorten zijden A,B,C(tov hoek $\alpha, \beta ,\gamma= \frac{\pi(n-2)}{n}$ [punt van een grote regelmatige n-hoek] resp.)
Er geldt dat
som $C_{blauw}+A_{rood} + B_{rood}$ = omtrek vd ene grote n-hoek
som $ C_{rood} + (A&B) _{blauw}$= omtrek vd andere grote n-hoek
Als het TB niet waar is, zvva (wlog) omtrek rood > omtrek blauw met een factor x>1
Dan som $C_{blauw}+ x (A&B) _{blauw}= $ som $x * C_{blauw} + (A&B) _{blauw}$
of som $(x-1)* \big( (A&B) _{blauw} - C_{blauw} \big) = 0$
wegens de driehoeksongelijkheid zal $(A&B) _{blauw} - C_{blauw} >0$ waarmee de contradictie volgt.