APMO 1993

Vraag 1 Opgelost!

Zij $ABCD$ een vierhoek met vier gelijke zijden en $\angle ABC=60^\circ$. Zij $l$ een rechte die door $D$ gaat en die overigens niet door de vierhoek gaat (tenzij in $D$ dus). Zij $E$ en $F$ de snijpunten van $l$ met de rechten $AB$ en $BC$ respectievelijk. Als $M$ het snijpunt is van $CE$ en $AF$, bewijs dan dat $CA^2=CM\cdot CE$.

Vraag 2

Vind het totaal aantal natuurlijke waarden dat de functie
$$f(x)=\lfloor x\rfloor+\lfloor2x\rfloor+\lfloor\frac{5x}3\rfloor+\lfloor3x\rfloor+\lfloor4x\rfloor$$
kan aanemen als $0\leq x\leq100$.

Vraag 3

Zij
$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$$
$$g(x)=c_{n+1}x^{n+1}+c_nx^n+\cdots+c_0$$
twee veeltermfuncties verschillend van nul met reële coëfficiënten zodat $g(x)=(x+r)f(x)$ voor een reële $r$. Als $a=max(|a_n|,...,|a_0|)$ en $c=max(|c_{n+1}|,...,|c_0|)$, bewijs dan dat $\frac ac\leq n+1$.

Vraag 4 Opgelost!

Bepaal alle natuurlijke getallen $n$ zodat de vergelijking
$$x^n+(2+x)^n+(2-x)^n=0$$
een geheel getal heeft als oplossing.

Vraag 5

Zij $P_1,P_2,...,P_{1993}=P_0$ verschillende punten in het $xy-$vlak met de volgende eigenschappen:
(i) voor alle $P_i\ (i=1,2,...,1993)$ zijn de coördinaten natuurlijke getallen;
(ii) er bestaat geen punt buiten $P_i$ en $P_{i+1}$ op het lijnstuk $P_iP_{n+1}$ waarvoor de coördinaten natuurlijke getallen zijn, voor $i=1,2,...,1993$.
Bewijs dat voor een bepaalde$i$, $0\leq i\leq1992$, er een punt $Q$ bestaat met coördinaten $(q_x,q_y)$ op het lijnstuk $P_iP_{i+1}$ zodat zowel $2q_x$ en $2q_y$ beiden natuurlijke getallen zijn.