diophantische vergelijking

$n$ is oneven, anders moet $x=2-x=2+x=0$, wat onmogelijk is.
$x$ moet even zijn door de vgl $\pmod2$ te bekijken. We herschrijven:
$=x^n+(2+x)^n=-(2-x)^n=(x-2)^n$ omdat $n$ oneven is.
Stel nu dat $x>2$, dan zijn $x,x+2$ en $x-2$ positief, dan geldt wegens de laatste stelling van Fermat dat $n\leq 2$ maar omdat $n$ oneven moet zijn geldt dus dat $n=1$ zodat $x=-4$, strijdigheid met $x>2$

We kunnen de vergelijking ook zo herschrijven (omdat $n$ oneven is):
$(-x)^n+(-x-2)^n=(2-x)^n$
Stel nu dat $x<-2$, dan zijn $-x,-x-2$ en $2-x$ positief, dus dan geldt wegens de laatste stelling van Fermat dat $n\leq 2$ maar omdat $n$ oneven moet zijn geldt dus dat $n=1$ zodat $x=-4$.

We moeten nu nog enkel de gevallen afgaan voor $x=2,0,-2$.
Voor $x=2,-2$ bekomt men de vgl. $2^n+4^n=0$, wat onmogelijk kan (exponentiële functies verschillend van nul worden nooit nul en blijven positief).
Voor $x=0$ bekomt men de vgl. $2^n+2^n=0$, wat om dezelfde reden als hiervoor geen oplossingen heeft.

De enige oplossing is dus $n=1$.

***
Alternatief:
$x=0$ kan niet.
Omdat $x$ even is (vergelijking modulo $2$ bekijken), kunnen we het schrijven als $x=2m$, dan is
$m^n+(m+1)^n+(1-m)^n=0$
Modulo $m$ geeft dit dat $m|2$ zodat er slechts $4$ gevallen te controleren zijn.
Enkel het geval $m=-2$,$x=-4$ en $n=1$ was een oplossing.