Home › Archief › Internationale Olympiades › APMO › 1993 › vierhoek

vierhoek

Tags:

Opgave - APMO 1993 vraag 1

Zij $ABCD$ een vierhoek met vier gelijke zijden en $\angle ABC=60^\circ$. Zij $l$ een rechte die door $D$ gaat en die overigens niet door de vierhoek gaat (tenzij in $D$ dus). Zij $E$ en $F$ de snijpunten van $l$ met de rechten $AB$ en $BC$ respectievelijk. Als $M$ het snijpunt is van $CE$ en $AF$, bewijs dan dat $CA^2=CM\cdot CE$.

Oplossing

Ingediend door Jan

Ik denk dat ik wel een tamelijk cool bewijs heb. :smile:

$AD$ is duidelijk evenwijdig met $BF$, dus er bestaat een homothetie die $\Delta EAD$ afbeeldt op $\Delta EBF$. Omdat $\Delta ACD$ een gelijkzijdige driehoek is, wordt $C$ afgebeeldt op $C'$ zodat $BC'F$ een gelijkzijdige driehoek is. Bijgevolg gaat $EC'$ door $M$. Analoog voor de gelijkzijdige driehoek een de buitenkant van $EB$, en dit bewijst dat $M$ het eerste Fermat-punt is van driehoek $EBF$. Bijgevolg geldt

$$120^{\circ} = \angle EMF = \angle AMC = \angle EAC$$

Dus is $\Delta MAC$ gelijkvormig met $\Delta AEC$. Bijgevolg is $\angle MAC = \angle AEC$ en is $AC$ rakend aan de omgeschreven cirkel van $\Delta MAE$
Macht van een punt: $CA^2 = CM.CE$