Home › Archief › Internationale Olympiades › APMO › 1993 › 1993 punten

1993 punten

Tags:

Opgave - APMO 1993 vraag 5

Zij $P_1,P_2,...,P_{1993}=P_0$ verschillende punten in het $xy-$vlak met de volgende eigenschappen:
(i) voor alle $P_i\ (i=1,2,...,1993)$ zijn de coördinaten natuurlijke getallen;
(ii) er bestaat geen punt buiten $P_i$ en $P_{i+1}$ op het lijnstuk $P_iP_{n+1}$ waarvoor de coördinaten natuurlijke getallen zijn, voor $i=1,2,...,1993$.
Bewijs dat voor een bepaalde$i$, $0\leq i\leq1992$, er een punt $Q$ bestaat met coördinaten $(q_x,q_y)$ op het lijnstuk $P_iP_{i+1}$ zodat zowel $2q_x$ en $2q_y$ beiden natuurlijke getallen zijn.