APMO 1992

Vraag 1

Gegeven is een driehoek met zijden $a,b,c$ en we noteren $s$ als de halve omtrek, dus $s=(a+b+c)/2$. Construeer nu een driehoek waarvan $s-a,s-b,s-c$ de zijden zijn. Dit proces wordt herhaald tot er geen driehoek meer kan gevormd worden met de gegeven lengtes van de zijden. Voor welke driehoeken kan dit proces oneindig herhaald worden?

Vraag 2 Opgelost!

In een cirkel $C$ met midden $O$ en straal $r$ tekenen we twee cirkels $C_1,C_2$ met middens $O_1,O_2$ en stralen $r_1,r_2$ respectievelijk, zodat elke cirkel $C_i$ inwendig raakt aan $C$ in $A_i$ en zo dat $C_1$ en $C_2$ uitwendig raken in $A$. Bewijs dat de rechten $OA,O_1A_2,O_2A_1$ concurrent zijn.

Vraag 3

Zij $n$ een natuurlijk getal groter dan 3. Veronderstel dat we drie getallen kiezen uit de verzameling $\{1,2,...,n\}$. Als we elk van deze drie nummers precies één keer gebruiken en we vormen met optelling, vermenigvuldigin en haakjes alle mogelijke combinaties.
(i) Toon aan dat als alle gekozen getallen groter zijn dan $n/2$, dat de waarde van al deze combinaties verschillend zijn.
(ii) Zij $p$ een priemgetal zodat $p\leq\sqrt n$. Toon aan dat het aantal manieren om drie nummers te kiezen zodat het kleinste $p$ is en de waarden van de combinaties niet allemaal verschillend zijn, precies gelijk is aan het aantal positieve delers van $p-1$.

Vraag 4

Bepaal alle koppels $(h,s)$ van natuurlijke getallen met de volgende eigenschappen:
Als iemand $h$ horizontale rechten tekent en iemand anders $s$ rechten die voldoen aan
(i) ze zijn niet horizontaal,
(ii) geen twee van hen zijn parallel,
(iii) geen drie van de $h+s$ rechten zijn concurrent,
dan is het aantal gebieden gevormd door deze $h+s$ lijnen 1992.

Vraag 5 Opgelost!

Vind een rij van maximale lengte die bestaat uit (van 0 verschillende) gehele getallen waarin de som van iedere zeven opeenvolgende termen (strikt) positief is en de som van elf opeenvolgende (strikt) negatief.