Home › Archief › Internationale Olympiades › APMO › 1992 › nummers kiezen

nummers kiezen

Tags:

Opgave - APMO 1992 vraag 3

Zij $n$ een natuurlijk getal groter dan 3. Veronderstel dat we drie getallen kiezen uit de verzameling $\{1,2,...,n\}$. Als we elk van deze drie nummers precies één keer gebruiken en we vormen met optelling, vermenigvuldigin en haakjes alle mogelijke combinaties.
(i) Toon aan dat als alle gekozen getallen groter zijn dan $n/2$, dat de waarde van al deze combinaties verschillend zijn.
(ii) Zij $p$ een priemgetal zodat $p\leq\sqrt n$. Toon aan dat het aantal manieren om drie nummers te kiezen zodat het kleinste $p$ is en de waarden van de combinaties niet allemaal verschillend zijn, precies gelijk is aan het aantal positieve delers van $p-1$.