Home › Archief › Internationale Olympiades › APMO › 1992 › rij van maximale lengte

rij van maximale lengte

Tags:

Opgave - APMO 1992 vraag 5

Vind een rij van maximale lengte die bestaat uit (van 0 verschillende) gehele getallen waarin de som van iedere zeven opeenvolgende termen (strikt) positief is en de som van elf opeenvolgende (strikt) negatief.

Oplossing

Ingediend door Peter Vandendriessche

Het maximum is $n=16$. Een voorbeeld voor $n=16$ is $(-5, -5, 13, -5, -5, -5, 13, -5, -5, 13, -5, -5, -5, 13, -5, -5)$, stel nu dat $n\ge17$, dan beschouwen we de matrix

$$\left[\begin{matrix}a_1&a_2&\cdots&a_{11} \\a_2&a_3&\cdots&a_{12} \\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\a_7&a_8&\cdots &a_{17}\end{matrix} \right].$$

De som van alle elementen is groter dan 0 (omdat de som van iedere kolom groter is dan 0), en kleiner dan 0 (omdat de som van iedere rij kleiner is dan 0), strijdigheid.