APMO 1990

Vraag 1

Gegeven een $\triangle ABC$ met $D,E,F$ de middens van zijden $BC,CA,AB$ respectievelijk en $G$ het midden van de driehoek. Voor iedere waarde van $\angle BAC$, hoeveel verschillende driehoeken zijn er zodat $AEGF$ een cyclische vierhoek is (lees: een vierhoek met de vier hoekpunten op één cirkel.)

Vraag 2

Zij $a_1,a_2,...,a_n$ positieve reële getallen en zij $S_k$ de som van het product van $a_1,a_2,...,a_n$ genomen, $k$ per keer. Toon aan dat
$$S_kS_{n-k}\geq{n\choose k}^2a_1a_2\cdots a_n$$
voor $k=1,2,...,n-1$.

Vraag 3 Opgelost!

Beschouw alle driehoeken $ABC$ met vaste basis $AB$ en waarvoor de hoogte uit $C$ een constante $h$ is. Voor welke van deze driehoeken is het product van de hoogtes maximaal?

Vraag 4

Een verzameling van 1990 personen wordt verdeeld in disjuncte deelverzamelingen op een zodanige manier dat
(1) Niemand in een deelverzameling kent iedereen uit zijn deelverzameling,
(2) Uit eender welke drie personen in een deelverzameling, zijn er altijd minimum twee die elkaar niet kennen, en
(3) Voor iedere twee personen die elkaar niet kennen in een deelverzamelin, is er precies één persoon in dezelfde deelverzameling die ze beiden kent.
(a) Bewijs dat in een deelverzameling, iedere persoon evenveel kennissen heeft.
(b) Bepaal het maximum aantal deelverzamelingen.
(Noot: als A B kent, kent B ook A.)

Vraag 5

Toon aan dat voor ieder natuurlijk getal $n\geq6$, er een convexe zeshoek bestaat die kan verdeeld worden in precies $n$ congruente driehoeken.