Home › Archief › Internationale Olympiades › APMO › 1990 › product van hoogtes

product van hoogtes

Tags:

Opgave - APMO 1990 vraag 3

Beschouw alle driehoeken $ABC$ met vaste basis $AB$ en waarvoor de hoogte uit $C$ een constante $h$ is. Voor welke van deze driehoeken is het product van de hoogtes maximaal?

Oplossing

Ingediend door Jan

$h_1.h_2.h_3=\frac{8S^3}{AB.BC.AC}$ met $S$ de oppervlakte van de driehoek.
We stellen ons dus de vraag wanneer $BC.AC$ minimaal is:

$$BC.AC=\frac{2S}{\sin{ACB}}$$

Deze uitdrukking is minimaal wanneer de ingesloten hoek tussen $BC$ en $AC$ recht is.

Het is echter niet altijd mogelijk om een rechte hoek te krijgen in $C$, bijvoorbeeld wanneer de hoogte uit $C$ groter is dan $\frac{AB}{2}$. In dat geval treedt uiteraard de maximale sinus op bij de grootst mogelijke hoek $ACB$. Het is triviaal dat deze maximale waarde optreedt wanneer $AC = BC$.