APMO 1989

Vraag 1 Opgelost!

Zij $x_1,x_2,...,x_n$ positieve reële getallen en
$$S=x_1+x_2+\cdots+x_n.$$
Bewijs dat
$$(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\leq1+S+\frac{S^2}{2!}+\frac{S^3}{3!}+ \cdots+\frac{S^n}{n!}.$$

Vraag 2

Bewijs dat de vergelijking
$$6(6a^2+3b^2+c^2)=5n^2$$
geen oplossing heeft in gehele getallen behalve $a=b=c=n=0$.

Vraag 3

Zij $A_1,A_2,A_3$ drie punten in het vlak, en voor het gemak $A_4=A_1$ en $A_5=A_2$. Voor $n=1,2,3$, veronderstel dat $B_n$ het midden is van $A_nA_{n+1}$ en veronderstel dat $C_n$ het midden is van $A_nB_n$. $A_nC_{n+1}$ en $B_nA_{n+2}$ snijden elkaar in $D_n$ en $A_nB_{n+1}$ en $C_nA_{n+2}$ snijden elkaar in $E_n$. Bereken de verhouding van de driehoek $D_1D_2D_3$ tot de driehoek $E_1E_2E_3$.

Vraag 4

Zij $S$ een verzameling die bestaat uit $m$ koppels $(a,b)$ van natuurlijke getallen met de eigenschap dat $1\leq a$, $ b\leq n$. Toon aan dat er op zijn minst
$$4m\cdot\frac{(m-\frac{n^2}4)}{3n}$$
drietallen $(a,b,c)$ bestaan zodat $(a,b),(b,c),(a,c)\in S$.

Vraag 5

Bepaal alle $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ zodat
(1) $f$ is strikt stijgend
(2) $f(x)+g(x)=2x$ voor alle reële $x$,
waar $g(x)$ de zogezegde samengestelde inverse is van $f(x)$. (Twee functies worden samengesteld invers genoemd als $f(g(x))=x$ en $g(f(x))=x$ voor alle reële $x$.)