ongelijkheid
Opgave - APMO 1989 vraag 1
Zij $x_1,x_2,...,x_n$ positieve reële getallen en
$$S=x_1+x_2+\cdots+x_n.$$
Bewijs dat
$$(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\leq1+S+\frac{S^2}{2!}+\frac{S^3}{3!}+ \cdots+\frac{S^n}{n!}.$$
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 0 gasten online.
Oplossing
AM-GM op het linkerlid geeft $LL\leq\left(1+\frac Sn\right)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}\left(\frac Sn\right)^k$
Omdat $\frac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)\cdots(n-k+1)\leq n^k$ is nu ${n\choose k}\leq\frac{n^k}{k!}$ zodat $LL\leq\sum_{k=0}^n\frac{S^k}{k!}=RL$