JWO 2020

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Een piramide met top $T$ en grondvlak $\Delta ABC$ heeft drie rechte hoeken in de top. De zijvlakken hebben oppervlaktes van $8$, $9$ en $12$. Bepaal de oppervlakte van het grondvlak.

Vraag 2 Opgelost!

In driehoek $\Delta ABC$ is $|AB|<|AC|$, $m$ de middelloodlijn van $[BC]$ en $s$ de bissectrice van $\hat{A}$. $S$ is het snijpunt van $m$ en $s$. $P$ is het voetpunt van de loodlijn uit $S$ op $AB$, en $Q$ dat van de loodlijn uit $S$ op $AC$. Toon aan dat $|AB|=|AQ|-|QC|$.

Vraag 3 Opgelost!

Stel $x,y,z$ reële getallen zodat $x,y,z \le \frac12$ en $x+y+z=1$. Toon aan dat $$\sqrt{1-2x}+\sqrt{1-2y}+\sqrt{1-2z} \le 2$$

Vraag 4

Aan een ronde tafel zitten $20$ kobolden. Ieder van hen bezit een aantal muntstukken. In elke ronde geven ze munten door volgens de volgende regels: wie een oneven aantal munten heeft, geeft één munt aan zijn linkerbuur. Wie een even aantal munten heeft, doet niets. Het doorgeven gebeurt gelijktijdig. Na $19$ rondes blijkt dat iedereen terug evenveel munten heeft als in het begin.

(a) Is het mogelijk dat de kobolden in totaal precies $2019$ munten bezitten?

(b) Is het mogelijk dat de kobolden in totaal precies $2020$ munten bezitten?