Snijpunt bissectrice en middelloodlijn
Opgave - JWO 2020 dag 1 vraag 2
In driehoek $\Delta ABC$ is $|AB|<|AC|$, $m$ de middelloodlijn van $[BC]$ en $s$ de bissectrice van $\hat{A}$. $S$ is het snijpunt van $m$ en $s$. $P$ is het voetpunt van de loodlijn uit $S$ op $AB$, en $Q$ dat van de loodlijn uit $S$ op $AC$. Toon aan dat $|AB|=|AQ|-|QC|$.
- login om te reageren
Oplossing
Het te bewijzen is $|AB|=|AQ|−|QC|$
Een tekening laat ons snel zien dat $ΔASP ≅ ΔASQ$ volgens ZHH ($|AS|=|AS|$, $∠APS=∠AQS = 90°$, $∠PAS=∠QAS$, want $s$ is de bissectrice van $\hat{A}$),
dus $|AP|=|AQ|$ en $|PS|=|QS|$(1)
$∠BPS = ∠CQS = 90°$ (2)
Bovendien is $m$ de middelloodlijn van $[BC]$ waaruit volgt dat $|BS| = |CS|$ (3)
Uit (1), (2) en (3) volgt dat $ΔBPS ≅ ΔCQS$,
dus $|BP|=|CQ|$
$|AQ|$ en $|QC|$ in het te bewijzen vervangen we door $|AP|$ en $|BP|$:
$|AB|=|AP|−|BP|$, wat triviaal is aangezien $|AP|>|AB|$