Niet-optimale ongelijkheid

Merk op dat $\forall a \in \mathbb{R} $ geldt dat $1-2a \leq (1-a)^{2}$

Bewijs:
Uitwerken van $1-2a \leq (1-a)^{2}$ geeft immers $1-2a \leq 1-2a+a^{2}$, wat triviaal is.

Uit het voorgaande volgt dat:

$\sqrt{1-2x}+\sqrt{1-2y}+\sqrt{1-2z} \le \sqrt{(1-x)^{2}}+\sqrt{(1-y)^{2}}+\sqrt{(1-z)^{2}}$

Na het rechterlid vereenvoudigd te hebben krijgen we dan volgende ongelijkheid:
$\sqrt{1-2x}+\sqrt{1-2y}+\sqrt{1-2z} \le 3-x-y-z$

Maar aangezien $x+y+z = 1$ is deze ongelijkheid gelijk aan
$\sqrt{1-2x}+\sqrt{1-2y}+\sqrt{1-2z} \le 2$ wat het te bewijzen was.

Q.E.D.