Stel $x,y,z$ reële getallen zodat $x,y,z \le \frac12$ en $x+y+z=1$. Toon aan dat $$\sqrt{1-2x}+\sqrt{1-2y}+\sqrt{1-2z} \le 2$$
Merk op dat $\forall a \in \mathbb{R} $ geldt dat $1-2a \leq (1-a)^{2}$
Bewijs: Uitwerken van $1-2a \leq (1-a)^{2}$ geeft immers $1-2a \leq 1-2a+a^{2}$, wat triviaal is.
Uit het voorgaande volgt dat:
$\sqrt{1-2x}+\sqrt{1-2y}+\sqrt{1-2z} \le \sqrt{(1-x)^{2}}+\sqrt{(1-y)^{2}}+\sqrt{(1-z)^{2}}$
Na het rechterlid vereenvoudigd te hebben krijgen we dan volgende ongelijkheid: $\sqrt{1-2x}+\sqrt{1-2y}+\sqrt{1-2z} \le 3-x-y-z$
Maar aangezien $x+y+z = 1$ is deze ongelijkheid gelijk aan $\sqrt{1-2x}+\sqrt{1-2y}+\sqrt{1-2z} \le 2$ wat het te bewijzen was.
Q.E.D.
Oplossing
Merk op dat $\forall a \in \mathbb{R} $ geldt dat $1-2a \leq (1-a)^{2}$
Bewijs:
Uitwerken van $1-2a \leq (1-a)^{2}$ geeft immers $1-2a \leq 1-2a+a^{2}$, wat triviaal is.
Uit het voorgaande volgt dat:
$\sqrt{1-2x}+\sqrt{1-2y}+\sqrt{1-2z} \le \sqrt{(1-x)^{2}}+\sqrt{(1-y)^{2}}+\sqrt{(1-z)^{2}}$
Na het rechterlid vereenvoudigd te hebben krijgen we dan volgende ongelijkheid:
$\sqrt{1-2x}+\sqrt{1-2y}+\sqrt{1-2z} \le 3-x-y-z$
Maar aangezien $x+y+z = 1$ is deze ongelijkheid gelijk aan
$\sqrt{1-2x}+\sqrt{1-2y}+\sqrt{1-2z} \le 2$ wat het te bewijzen was.
Q.E.D.