Oppervlakte grondvlak piramide
Opgave - JWO 2020 dag 1 vraag 1
Een piramide met top $T$ en grondvlak $\Delta ABC$ heeft drie rechte hoeken in de top. De zijvlakken hebben oppervlaktes van $8$, $9$ en $12$. Bepaal de oppervlakte van het grondvlak.
- login om te reageren
Oplossing
Omdat de piramide drie rechte hoeken in de top heeft en de oppervlakte van driehoek ABC (zijvlak tegenover top T) gevraagd wordt, is dit vraagstuk op te lossen met de Stelling van De Gua (Stelling van Pythagoras in de ruimtemeetkunde)
Omdat er is gegeven dat de oppervlakten van de zijvlakken gelijk zijn aan 8, 9 en 12, vullen we deze gegevens in in de stelling van De Gua:
Oppervlakte van $\Delta ABC$ = $\sqrt {8²+9²+12²}$
$\Rightarrow$ Oppervlakte van $\Delta ABC$ = 17
Ik ben ervan overtuigd dat er maar weinig mensen de stelling van De Gua kennen, dus bij deze een oplossing zonder de stelling.
Noem $|TA| = a, |TB| = b, |TC| = c$. We hebben dat $ab = 16, bc = 18, ac = 24$. Als we ze allemaal vermenigvuldigen krijgen we dat $(abc)^2 = 6912$ en daar $a,b,c>0$ hebben we $abc = 48 \cdot \sqrt{3}$. Hieruit halen we eenvoudig dat $a = \frac{8}{\sqrt{3}}, b = 2\sqrt{3}, c = 3\sqrt{3}$.
Noem $|AB| = x, |BC| = y, |AC| = z$. We krijgen wegens pythagoras dat $a^2 + b^2 = x^2, b^2 + c^2 = y^2, a^2 + c^2 = z^2$ en dus $x = \frac{10}{\sqrt{3}}, y = \sqrt{39}, z = \sqrt{\frac{145}{3}}$. Noem $s = \frac{x+y+z}{2}$. Als we nu de formule van Heron gebruiken, vinden we dat de oppervlakte van $\triangle ABC$ gelijk is aan
\[\sqrt{s(s-x)(s-y)(s-z)}\]
En lang rekenwerk bezorgt ons uiteindelijk dat de oppervlakte van $\triangle ABC$ gelijk is aan $17$.