JWO 2015

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

In $\triangle ABC$ is |AB| = 6 en |AC| = 7. Noem H de loodrechte projectie van B op de
bissectrice van $\hat{A}$ en noem M het midden van [BC]. Bepaal |HM|.

Vraag 2 Opgelost!

De hoekpunten en middens van de zijden van een vijfhoek worden genummerd van $1$
tot $10$ zodat de som van de drie getallen op elk van de vijf zijden dezelfde is. Wat is
de kleinst mogelijke waarde van die som?

Vraag 3 Opgelost!

Zij $ABCDEF GHIJ$ een regelmatige tienhoek
ingeschreven in een cirkel met middelpunt $O$.
Noem $K$ het snijpunt van de rechten $AB$ en
$OC$. Bewijs dat $|AK| = |AD|.$

Vraag 4 Opgelost!

Wolfgang en Amadeus spelen een spel. Wolfgang heeft een lijnstuk met lengte $w$
en Amadeus heeft er een met lengte $a$. Eerst verdeelt Wolfgang zijn lijnstuk in drie
stukken. Daarna meet Amadeus deze stukken en verdeelt hij zijn lijnstuk in drie stukken.
Als het mogelijk is om met de zes lijnstukken als zijden twee afzonderlijke driehoeken
te vormen, dan wint Amadeus het spel. In het andere geval wint Wolfgang.
(a) Veronderstel dat $w$ >$a$. Toon aan dat Wolfgang het spel steeds kan winnen.
(b) Veronderstel dat $w \le a$. Toon aan dat Amadeus het spel steeds kan winnen.