Mozart op de JWO
Opgave - JWO 2015 dag 1 vraag 4
Wolfgang en Amadeus spelen een spel. Wolfgang heeft een lijnstuk met lengte $w$
en Amadeus heeft er een met lengte $a$. Eerst verdeelt Wolfgang zijn lijnstuk in drie
stukken. Daarna meet Amadeus deze stukken en verdeelt hij zijn lijnstuk in drie stukken.
Als het mogelijk is om met de zes lijnstukken als zijden twee afzonderlijke driehoeken
te vormen, dan wint Amadeus het spel. In het andere geval wint Wolfgang.
(a) Veronderstel dat $w$ >$a$. Toon aan dat Wolfgang het spel steeds kan winnen.
(b) Veronderstel dat $w \le a$. Toon aan dat Amadeus het spel steeds kan winnen.
- login om te reageren
Oplossing
(a) Wolfgang moet één van zijn stukken, $z$, groter dan $\frac{a+w}{2}$ maken. Dit is mogelijk, aangezien $\frac{a+w}{2}$<$w$. Voor dit stuk $z$ geldt: $a+w-z $<$z$, m.a.w., $z$ is groter dan de som van alle andere lijnstukken. Omdat, om een driehoek te kunnen vormen, $z$ kleiner zou moeten zijn dan de som van twee van de andere lijnstukken, is het onmogelijk voor Amadeus om $a$ zo te knippen dat hij wint.
(b) Stel dat Wolfgang drie stukken $q$, $r$ en $s$ heeft. Dan kan Amadeus de volgende strategie toepassen:
Allereerst knipt hij een stuk $z=\max(q,r)$ af. Dan geldt dat $q+r$>$z$, $r+z$>$q$ en $q+z$>$r$. Hij maakt dus met zijden $z$, $q$ en $r$ een driehoek.
Vervolgens knipt hij het overgebleven deel $a-z$, in twee gelijke delen. We bewijzen dat hiermee en met $s$ een driehoek kan gevormd worden.
(1) $s+\frac{a-z}{2}>\frac{a-z}{2}$. Dit is triviaal.
(2) $a-z>s$. Dit is waar, aangezien $a-z=a-\max(q,r)\geq w-\max(q,r)>w-q-r=s$.
Q.E.D.