kleinste som
Opgave - JWO 2015 dag 1 vraag 2
De hoekpunten en middens van de zijden van een vijfhoek worden genummerd van $1$
tot $10$ zodat de som van de drie getallen op elk van de vijf zijden dezelfde is. Wat is
de kleinst mogelijke waarde van die som?
- login om te reageren
Oplossing
Noem S de kleinst mogelijke som.
Laat a, b, c, d, e de hoekpunten zijn van de vijfhoek en f het midden van |ab| , g het midden van |bc|, h het midden van |cd| , i het midden van |de| en j het midden van |ae|.
We weten dat:
$5S = 2 (a + b + c + d + e) + (f + g + h + i + j)$
$=(a+b+c+d+e+f + g + h + i + j)+ (a + b + c + d + e) $$=\sum_{i=1}^{10}i + (a + b + c + d + e) \ge 55 + \sum_{i=1}^5 i =70.$
Dit betekent dat $S \ge 14$.
Het is vervolgens voldoende om aan te tonen dat gelijkheid kan gelden.
Neem hiervoor het voorbeeld (3-6-5-7-2-8-4-9-1-10-3), i.e. a=3, b=5, c=2, d=4 e=1, f=6 g=7, h=8, i=9 en j=10.
Elk getal van $1$ tot $10$ werd op één plaats gezet en het is eenvoudig te zien dat de som op elke zijde gelijk is aan $14$.