JWO 2012

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

In onze school zitten er precies $n$ leerlingen in het $3^e$ jaar en $n$ leerlingen in het $4^e$ jaar, zodat geldt dat:

-er zijn samen $21$ derdejaars- en vierdejaarsklassen

-het toeval wil dat het aantal leerlingen in $2$ willekeurige klassen maximaal 1 verschilt.

-Niet alle 3ejaarsklassen hebben evenveel leerlingen

-niet alle 4ejaarsklassen hebben evenveel leerlingen

-Elke klas heeft minimum 8 leerlingen

Bepaal n

Vraag 2 Opgelost!

Bepaal de kleinst mogelijke waarde van $x+y$, waarbij $x$ en $y$ natuurlijke getallen zijn die voldoen aan $\frac{2010}{2011}<\frac{x}{y} < \frac{2011}{2012}.$

Vraag 3 Opgelost!

$ABCD$ is een vierhoek zodat $M,N$ de middens zijn van $[AD],[BC]$.

$BM,CM,AN,DN$ snijden de vierhoeken in $7$ delen, het deel dat grenst aan $[AB],[CD]$ is $II,III$ en de vierhoek in't midden heeft opp. $I$.

Bewijs dat $I=II+III.$

Vraag 4 Opgelost!

Twee rechten l en m snijden elkaar loodrecht in O. Langs de ene kant van l nemen we een punt F op m. Langs de andere kant van l nemen we een punt V dat niet op m ligt. De rechte die de loodrechte projectie van V op l verbindt met F snijdt de rechte VO in B. De afstanden van F, V en B tot l noemen we achtereenvolgens f, v en b. Als we weten dat $f$<$v$ , bewijs dan dat
$\frac {1}{f} =\frac 1v + \frac 1b$