meetkundige C
Opgave - JWO 2012 dag 1 vraag 3
$ABCD$ is een vierhoek zodat $M,N$ de middens zijn van $[AD],[BC]$.
$BM,CM,AN,DN$ snijden de vierhoeken in $7$ delen, het deel dat grenst aan $[AB],[CD]$ is $II,III$ en de vierhoek in't midden heeft opp. $I$.
Bewijs dat $I=II+III.$
- login om te reageren
Oplossing
Gezien ze eenzelfde hoek $\widehat {D}$ en aangrenzende zijde $|DC|$ hebben, geldt $A_{\triangle ADC}=2A_{\triangle MDC}$, gezien $2|MD|=|AD|$. Analoog kunnen we dit stellen voor $\triangle BNA$ en $\triangle BCA$. Nu geldt ook dat $\triangle BCA + \triangle ADC = ABCD$, dus kunnen we stellen:
$A+B+C+D+I+II+III=2A+2III+2C+2II$
$B+D+I=A+III+C+II$ $(1)$
Verwisselen we in onze denkwijze $A$ met $B$, $C$ met $D$ en $M$ met $N$, dan bekomen we op analoge wijze:
$A+B+C+D+I+II+III=2B+2III+2D+2II$
$A+C+I=B+III+D+II$ $(2)$
We tellen $(1)$ en $(2)$ op en verkrijgen:
$A+B+C+D+2I=A+B+C+D+2II+2III$
$2I=2II+2III$
$I=II+III$