JWO 2005

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Het VWO-monster doodt alle deelnemers van JWO en VWO in de jaren dat hij toeslaat.
Het eerste jaar dat hij toesloeg was $234.$
Sinds toen wachtte hij telkens de som van de cijfers van het jaartal voor hij nog eens toesloeg.
Bewijs dat we in de $21^e$ eeuw veilig zijn gedurende ruim 20 jaar.

Vraag 2 Opgelost!

We tekenen cirkels die $A,B$ als middelpunt gaan en door het middelpunt van de andere cirkel gaan, ze snijden elkaar onder andere in $C.$
We tekenen de cirkel met middelpunt $C$ die door $A,B$ gaat.
Het snijdt de cirkel met middelpunt $B$ in het punt $D$,
wat opnieuw het middelpunt wordt van een nieuwe cirkel met dezelfde straal.
Het snijdt opnieuw de cirkel met middelpunt $B$ in het punt $E$ waarmee we een cirkel tekenen die door $A$ gaat en diens cirkel snijdt in $F,G.$
Zoals verwacht nemen we die punten als middelpunt voor cirkels die snijden in $A$^
en nieuw punt $M.$
Bewijs dat $M$ het midden is van $[AB].$

Vraag 3 Opgelost!

Bewijs dat $4020025$ op zijn minst op $4$ manieren kan worden geschreven als de som van exact $2$ volkomen kwadraten.

Vraag 4 Opgelost!

Zij $M$ een punt in een convexe vierhoek $ABCD$
Bewijs dat dan geldt dat $ |MA|+|MB| < |AD|+|DC|+|CB| $
$-$
Zij $M$ een punt in $\triangle{ABC}$ en definieer
$ k=\min(|MA|,|MB|,|MC|) $
Bewijs dat dan geldt dat
$ k+|MA|+|MB|+|MC|<|AB|+|BC|+|CA| $