meetkundige ongelijkheden
Opgave - JWO 2005 dag 1 vraag 4
Zij $M$ een punt in een convexe vierhoek $ABCD$
Bewijs dat dan geldt dat $ |MA|+|MB| < |AD|+|DC|+|CB| $
$-$
Zij $M$ een punt in $\triangle{ABC}$ en definieer
$ k=\min(|MA|,|MB|,|MC|) $
Bewijs dat dan geldt dat
$ k+|MA|+|MB|+|MC|<|AB|+|BC|+|CA| $
- login om te reageren
Oplossing
Voor de eerste opgave:
teken de loodlijn op $[AB]$ door $M$ en noem het snijpunt met $[AD],[DC]$ of $[BC]$ $X$,
dan geldt $|AM|\le|AX|\le|AD|+|DX|$ en analoog,
optellen geeft $|AM|+|MB|\le|AD|+|DX|+|XC|+|CB|=RL$
en opgelost.
alternatief
1) Indien $M$ in de driehoek $ABC$ ligt. ($M$ in $\triangle ADB$ analoog)
teken $\triangle{ABC}$, noem P het snijpunt van AC en BM.
$\left | AM \right |\leq \left | AP \right |+\left | PM \right |$ ,
$\left | BP \right |\leq \left | BC \right |+\left | PC \right |$ en
$\left | AC \right |\leq \left | AD \right |+\left | CD \right |$
dus dit achtereenvolgens toepassen geeft dan dat:
$O(AMB) < O(APB) < O(ABC) < O(ABCD)$ (O(ABC) is de omtrek van ABC)
$\Rightarrow \left | MA \right |+ \left | MB \right |<\left | AD \right |+ \left | DC \right |+\left | DB \right |$
2) stel $X=AC \cap BD$, wanneer $M$ in $\triangle CDX$ ligt heben we het overige geval
Teken C'D' evenwijdig aan CD door M met C' op CB en D' op [AD] (in dit geval liggen ze op deze lijnstukken)
$\left | AM \right |\leq \left | AD' \right |+\left | MD' \right |$ en
$\left | BM \right |\leq \left | BC' \right |+\left | MC' \right |$
$\Rightarrow \left | MA \right |+ \left | MB \right |<\left | AD \right |+ \left | DC \right |+\left | DB \right |$
In dit bewijs zal ik naar $\left | XY \right |$ verwijzen met $XY$.
Voor b): Omdat de som van de drie hoeken $\widehat{AMB}$, $\widehat{BMC}$, $\widehat{AMC}$ gelijk is aan $360°$, en $M$ zich binnen een driehoek bevindt, zijn er minstens twee stompe hoeken bij, zeg W.L.O.G. $\widehat{AMB}$ en $\widehat{AMC}$ . Inderdaad, indien niet, zijn er $2$ hoeken die maximaal $90^{\circ}$ zijn en dan zou de laatste hoek groter minstens $180^{\circ}$ moeten bedragen, wat niet kan.
Zij nu $S$ het snijpunt van $AM$ en $BC$. Zij $H$ de loodrechte projectie van $B$ op $AS$. Dan geldt in driehoek $\Delta ABS$: $BM+AM$<$BH+HM+AM$<$BH+AB$<$BS+AB$. Hierin hebben we gebruikgemaakt van de driehoeksongelijkheid en het feit dat binnen een rechthoekige driehoek de hypotenusa de langste zijde is. Analoog kunnen we aantonen: $CM+AM$<$CS+AC$. Tellen we deze twee verkregen ongelijkheden op, krijgen we: $AM+BM+CM+k \leq AM+BM+CM+AM$<$AB+BC+AC$. Q.E.D.