Home › Archief › Nationale en Regionale Olympiades › België › JWO › 2005 › kwadraten

kwadraten

Tags:

Opgave - JWO 2005 dag 1 vraag 3

Bewijs dat $4020025$ op zijn minst op $4$ manieren kan worden geschreven als de som van exact $2$ volkomen kwadraten.

Oplossing

Ingediend door Rebhood

$0^2+2005^2=4020025$

$200^2+1995^2=4020025$

$1037^2+1716^2=4020025$

$1203^2+1604^2=4020025$

$1357^2+1476^2=4020025$

***
enige verwoording: $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$
$2005^2=(401*5)^2$
we kunnen $401^2=399^2+40^2$ en $5^2=3^2+4^2$
hiermee vinden en de formules invullen om al $2$ manieren te verkrijgen.
$401^2+0^2,3^2+4^2$ en $399^2+40^2,5^2+0^2$ geeft nog $2$ manieren en
$2005^2+0^2$ tgv $401^2+0^2,5^2,0^2$ was een niet-meegerekende.