cirkels,cirkels en nog eens ...

Tags:

Opgave - JWO 2005 dag 1 vraag 2

We tekenen cirkels die $A,B$ als middelpunt gaan en door het middelpunt van de andere cirkel gaan, ze snijden elkaar onder andere in $C.$
We tekenen de cirkel met middelpunt $C$ die door $A,B$ gaat.
Het snijdt de cirkel met middelpunt $B$ in het punt $D$,
wat opnieuw het middelpunt wordt van een nieuwe cirkel met dezelfde straal.
Het snijdt opnieuw de cirkel met middelpunt $B$ in het punt $E$ waarmee we een cirkel tekenen die door $A$ gaat en diens cirkel snijdt in $F,G.$
Zoals verwacht nemen we die punten als middelpunt voor cirkels die snijden in $A$^
en nieuw punt $M.$
Bewijs dat $M$ het midden is van $[AB].$

Oplossing

We noemen de lengte van de straal van cirkel $A$ $r$.
De lengte van de straal van $B$ is dus ook $r$.
De afstand tussen $A$ en $B$ is ook $r$ omdat ze door het middelpunt van de andere cirkel gaan.
Driehoek $ABC$ is dus gelijkzijdig met zijden met lengte $r$.
Cirkel $C$ gaat door $A$ en $B$, dus is de lengte van de straal van $C$ ook gelijk aan $r$.
$D$ ligt dus op een afstand $r$ van $C$, en ook op $r$ van $B$ omdat het door de straal van cirkel $B$ gaat. $\Rightarrow$ De lengte van de straal van cirkel $D$ is $r$.
$\Rightarrow$ Driehoek $BCD$ is gelijkzijdig, met zijden gelijk aan $r$.
http://www5.picturepush.com/photo/a/5522713/img/Anonymous/bewijs-cirkels...

Nu, $E$ ligt op een afstand $r$ van $D$, en op een afstand $r$ van $B$, dus is driehoek $BDE$ gelijkzijdig, met zijden gelijk aan $r$.
De straal van $E$ is gelijk aan de lengte van $|AE|$.
$ABC$, $BCD$, en $BDE$ zijn gelijkzijdig, en dus zijn al hun hoeken 60°.
$B$ in $ABC + B$ in $BDE + B$ in $BDE = $60° + 60° + 60° = 180 °
$\Rightarrow A, B, E$ zijn collineair.
$|AE|=|AB|+|BE|=2r$
De lengte van de straal van de cirkel met centrum $E$ is dus $2r$.
http://www3.picturepush.com/photo/a/5522716/img/Anonymous/bewijs-cirkels...

$G$ ligt op cirkel met centrum $A$, dus op afstand $r$ van $A$.
$AGE$ is gelijkbenig, met basis met lengte $r$ en opstaande zijden met lengte $2r$.
http://www5.picturepush.com/photo/a/5522718/img/Anonymous/bewijs-cirkels...

De cirkels met centra $F$ en $G$ gaan op $|AB|$ door hetzelfde punt omdat ze op gelijke afstanden van AB liggen (omdat AGE en AFE congruent zijn omdat $[AE]$ gemeenschappelijk is, $|AF|=|AG|=r$, en $|EF|=|EG|=|AE|=2r$).
We tekenen de hoogtelijn uit $E$ op $AG$. Het snijpunt noemen we $X$. Omdat $AGE$ gelijkbenig is, zal de hoogtelijn door het midden van $AG$ gaan.
$|AX|$ is dan $r/2$.
De cosinus van $A$ is dan $1/4$.
In driehoek $MAG$ is $|MG|=|AG|$ omdat die allebei stralen zijn van de cirkel met centrum $G$.
$MAG$ is gelijkbenig $=>$ $|\angle_A|=|\angle_M|$
We zoeken $|AM|$.
We tekenen de hoogtelijn uit $G$ op $MA$. Omdat $MAG$ gelijkbenig is, zal die door het midden van $[MA]$ gaan.
$\cos A=1/4 \Rightarrow\frac{\frac{|MA|}{2}}{r} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 2|MA|=r \Leftrightarrow |MA|=\frac{1}{2}r = \frac{1}{2} |AB|$ WWMB
http://www2.picturepush.com/photo/a/5522725/img/Anonymous/bewijs-cirkels...

$\left | AB \right |=\left | AC \right |=\left | BC \right |=\left | BD \right |=\left | CD \right |=\left | DE \right |=\left | BE \right |=\left | AF \right |=\left | AG \right |$, is simpel te bewijzen omdat dit de straal is van de cirkels met middelpunten A, B, C en D.
$\Rightarrow$ A, B en E zijn colinear

$\Delta AFE \cong \Delta AGE$(ZZZ) en $\Delta AFM \cong \Delta AGM$(ZZZ) en de 4 driehoeken zijn ookallemaal gelijkbenig
$\Rightarrow$De hoeken $\angle A$ zijn alle 4 gelijk en scherphoekig
$\Rightarrow$De driehoeken zijn alle 4 gelijkvormig en M ligt op rechte AB

Uit de gelijkvormigheid volgt dat $\frac{\left | AM \right |}{\left | AF \right |}=\frac{\left | AF \right |}{\left | EF \right |}=\frac{1}{2}$ en dus $\left | AM \right |=0,5\left | AF \right |=0,5\left | AB \right |=\left | BM \right |$