USAMO 2002

Vraag 1

Zij $S$ een verzameling van $2002$ elementen, en $N$ een geheel getal met $0\le N\leq2^{2002}$. Bewijs dat het mogelijk is om iedere deelverzameling van $S$ zwart of wit te kleuren zodat de volgende voorwaarden gelden:

• de unie van elke twee witte deelverzamelingen is wit,
• de unie van elke twee zwarte deelverzamelingen is zwart,
• er zijn precies $N$ witte deelverzamelingen.

[/]

Vraag 2

Zij $\triangle ABC$ een driehoek waarvoor $$\left(\cot\frac A2\right)^2+\left(\cot\frac B2\right)^2+\left(\cot\frac C2\right)^2=\left(\frac{6s}{7r}\right)^2,$$
met $s$ de halve omtrek en $r$ de straal van de ingeschreven cirkel van $\triangle ABC$. Bewijs dat $\triangle ABC$ gelijkvormig is aan een driehoek waarvan de lengtes van de zijden allemaal natuurlijke getallen zijn die onderling ondeelbaar zijn, en bepaal deze getallen.

Vraag 3

Bewijs dat iedere monische veelterm van graad $n$ met reële coëfficiënten het rekenkundig gemiddelde is van twee monische veeltermen van graad $n$ met $n$ reële wortels.

Vraag 4 Opgelost!

Bepaal alle functies $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ zodat
$$f(x^2-y^2)=xf(x)-yf(y)$$
voor alle $x,y\in\mathbb R$.

Vraag 5

Zij $a,b>2$ natuurlijke getallen. Bewijs dat er gehele getallen $k,n_1,n_2,\ldots,n_k>0$ bestaan zodat $n_1=a$, $n_k=b$ en $n_i+n_{i+1}|n_in_{i+1}$ voor alle $i=1,...,k$.

Vraag 6

In een $n\times n$ vel postzegels scheuren we $3\times1$ (of $1\times3$) rechthoekjes uit. Zij $b(n)$ het kleinste aantal rechthoekjes dat je moet uitscheuren opdat je geen volgend $3\times 1$ (of $1\times 3$) rechthoekje meer kan uitscheuren. Bewijs dat er constanten $c$ en $d$ bestaan zodat
$$\frac17n^2-cn\leq b(n)\leq\frac15n^2+dn$$
voor alle $n>0$.