USAMO 1999

Vraag 1

Enkele dampionnen worden op een $n\times n$ zodat

• ieder vakje dat geen damstuk bevat grenst (met een zijde) aan een vakje dat er wel één bevat,
• gegeven twee willekeurige vakjes die beide een damstuk bevatten, bestaat er een pad (waarbij twee opeenvolgende vakjes van het pad aangrenzend moeten zijn) van het ene vakje naar het andere, waarbij op ieder vakje in dat pad een dampion bevat.

Bewijs dat er minimum $\frac{n^2-2}{3}$ damstukken op het bord staan.

[/]

Vraag 2

Zij $ABCD$ een koordenvierhoek. Bewijs dat
$$|AB-CD|+|AD-BC|\geq2|AC-BD|.$$

Vraag 3

Zij $p$ een oneven priemgetal en $a,b,c,d$ gehele getallen niet deelbaar door $p$ zodat
$$\left\{\frac{ra}p\right\}+\left\{\frac{rb}p\right\}+\left\{\frac{rc}p\right \}+\left\{\frac{rd}p\right\}=2$$
voor elk geheel getal $r$ niet deelbaar door $p$ (met $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$). Bewijs dat er minimum twee van de getallen $a+b,a+c,a+d,b+c,b+d,c+d$ deelbaar zijn door $p$.

Vraag 4 Opgelost!

Zij $a_1,a_2,\ldots,a_n$ $(n>3)$ een rij van reële getallen zodat
$$a_1+a_2+\cdots+a_n\geq n$$
en
$$a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2\geq n^2.$$
Bewijs dat
$$\max(a_1,a_2,\ldots,a_n)\geq2.$$

Vraag 5

Het Y2K spel wordt gespeeld op een $1\times2000$ rooster als volgt: twee spelers schrijven elk op beurt een $S$ of een $O$ op een leeg vakje. De eerste speler die eerst drie opeenvolgende vakjes kan maken met SOS wint het spel. Als alle vakjes gevuld zijn zonder SOS te produceren, dan eindigt het in een gelijkspel. Als de ene speler begint, bewijs dan dat de andere speler een winnende strategie heeft.

Vraag 6

Zij $ABCD$ een gelijkbenig trapezium ($AB$ parallel met $CD$). De ingeschreven cirkel $\omega$ van de driehoek $BCD$ raakt $CD$ in $E$. Zij $F$ een punt op de (inwendige) bissectrice van $\angle DAC$ waarvoor $EF\perp CD$. Zij $C$ en $G$ de snijpunten van de omgeschreven cirkel van driehoek $ACF$ met de rechte $CD$. Bewijs dat $\triangle AFG$ gelijkbenig is.