USAMO 1995

Vraag 1

Zij $p$ een oneven priemgetal. De rij $(a_n)_{n\geq0}$ wordt als volgt gedefinieerd: $a_0=0,a_1=1,\ldots,a_{p-2}=p-2$ en voor alle $n\geq p-1$ is $a_n$ het kleinste natuurlijk getal dat geen rekenkundige rij vormt van lengte $p$ met eender welke $p-1$ voorgaande termen. Bewijs dat, voor alle $n$, $a_n$ het getal is dat we verkrijgen door $n$ in basis $p-1$ te schrijven en het resultaat te lezen in basis $p$.

Vraag 2

Een rekenmachine is kapot, zodanig dat de enige toetsen die wel nog werken de $\sin$, $\cos$, $\tan$, $\arcsin$, $\arccos$ en $\arctan$ zijn. De display staat oorspronkelijk op 0. Gegeven eender welk positief rationaal getal $q$, toon aan dat we door een eindig aantal keer op deze zes knoppen te drukken $q$ kunnen uitkomen (in de veronderstelling dat de rekenmachine kan rekenen met reële getallen met oneindige precisie en alle functies in radialen werken).

Vraag 3 Opgelost!

Gegeven een ongelijkbenige, niet-rechthoekige driehoek $\triangle ABC$, zij $O$ het midden van de omgeschreven cirkel en $A_1,B_1,C_1$ de middens van de zijden $BC,CA,AB$ respectievelijk. Het punt $A_2$ ligt op de halfrechte $OA_1$ zodat $\triangle OAA_1$ gelijkvormig is met $\triangle OAA_2A$. De punten $B_2$ en $C_2$ worden analoog geplaatst op respectievelijk de halfrechten $OB_1$ en $OC_1$. Bewijs dat $AA_2,BB_2,CC_2$ concurrent zijn.

Vraag 4

Veronderstel dat $q_0,q_1,q_2,\ldots$ een oneindige rij van natuurlijke getallen is die voldoet aan de volgende twee voorwaarden:

• $m-n$ deelt $q_m-q_n$ voor alle $m>n\geq0$,
• er bestaat een veelterm $P$ zodat $|q_n|

Bewijs dat er een veelterm $Q$ bestaat zodat $q_n=Q(n)$ voor alle $n$.

[/]

Vraag 5

In een bepaalde gemeenschap zijn elke twee mensen ofwel bevriend, ofwel vijandig. Onderstal dat er $n$ mensen zijn, er in totaal maar $q$ "koppels" mensen bevriend zijn (en vriendschap/vijandschap is wederkerig), en er voor iedere drie personen er op zijn minst één koppel vijandig is. Bewijs dat er minimum één persoon $q\left(1-\frac{4q}{n^2}\right)$ bevriende koppels telt onder zijn vijanden.