willekeurige driehoek
Opgave - USAMO 1995 vraag 3
Gegeven een ongelijkbenige, niet-rechthoekige driehoek $\triangle ABC$, zij $O$ het midden van de omgeschreven cirkel en $A_1,B_1,C_1$ de middens van de zijden $BC,CA,AB$ respectievelijk. Het punt $A_2$ ligt op de halfrechte $OA_1$ zodat $\triangle OAA_1$ gelijkvormig is met $\triangle OAA_2A$. De punten $B_2$ en $C_2$ worden analoog geplaatst op respectievelijk de halfrechten $OB_1$ en $OC_1$. Bewijs dat $AA_2,BB_2,CC_2$ concurrent zijn.
- login om te reageren
Oplossing
Om te beginnen merken we op dat, omdat $\Delta ABC$ noch gelijkbenig noch rechthoekig is, zal $O \not= A_1$ en zijn $A_1,O$ en $A$ niet collineair, i.h.b. zal $\Delta OAA_1$ wel degelijk een driehoek zijn (dus niet ontaard). Zij verder $\omega$ de omgeschreven cirkel van $\Delta ABC$.
Merk vervolgens op dat, aangezien $\Delta OAA_1 \sim \Delta OA_2 A$, geldt dat $\frac{|OA_1|}{|OA|}=\frac{|OA|}{|OA_2|} \Rightarrow |OA|^2=|OA_1| |OA_2|$.
Beschouw nu de inversie $\Psi$ met centrum $O$ en straal $|OA|$. Er zal gelden dat $\Psi(A_1)=A_2$ en analoog zal, omdat $|OA|=|OB|=|OC|$, $\Psi(B_1)=B_2$ en $\Psi(C_1)=C_2$. Merk nu op dat $OA_1 \perp BC$, omdat $A_1$ het midden is van koorde $BC$. Dus is $BC$ de poollijn van $A_2$. Dit wilt zeggen dat $A_2B$ en $A_2C$ raaklijnen aan $\omega$ zijn. Analoog zullen $B_2C$, $B_2A$, $C_2B$, $C_2A$ raaklijnen zijn aan de cirkel. Maar omdat door elk punt op een cirkel slechts één raaklijn aan die cirkel gaat, wilt dit zeggen dat $B_2 A_2$, $C_2 A_2$, $B_2 C_2$ de raaklijnen door $C$, $B$, $A$ resp. zijn. Dus $\omega$ is de ingeschreven cirkel van $\Delta A_2 B_2 C_2$. Hieruit volgt dat $AA_2$, $BB_2$, $CC_2$ wel degelijk concurrent zijn, het is algemeen bekend dat ze allen door het punt van Gergonne van $\Delta A_2 B_2 C_2$ gaan. Q.E.D.