USAMO 1989

Vraag 1

Voor ieder natuurlijk getal $n$, zij
$$\begin{array}{lll}S_n&=&1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n,\\ T_n&=&S_1+S_2+S_3+\cdots+S_n,\\ U_n&=&\frac{T_1}2+\frac{T_2}3+\frac{T_3}4+\cdots+\frac{T_n} {n+1}.\end{array}$$
Vind natuurlijke getallen $0

Vraag 2

De $20$ leden van een tennisclub spelen in totaal $14$ matchen, waarbij iedereen minstens één keer speelt. Bewijs dat er binnen deze $14$ matchen, er een verzameling van $6$ matchen moet zijn met $12$ verschillende spelers.

Vraag 3

Zij $P(z)=z^n+c_1z^{n-1}+c_2z^{n-2}+\cdots+c_n$ een veelterm met reële coëfficiënten $c_k$. Veronderstel dat $|P(i)|<1$. Bewijs dat er reële getallen $a$ en $b$ bestaan zodat $P(a+bi)=0$ en $(a^2+b^2+1)^2<4b^2+1$.

Vraag 4

Zij $\triangle ABC$ een scherphoekige driehoek waarvan de zijdelengtes voldoen aan $|AB|<|AC|<|BC|$. Als $I$ en $O$ de centra zijn van respectievelijk de in- en omgeschreven cirkel van $\triangle ABC$, bewijs dan dat de rechte $IO$ de lijnstukken $[AB]$ en $[BC]$ snijdt.

Vraag 5

Zij $u,v\in\mathbb{R}$ met $$(u+u^2+u^3+\cdots+u^8)+10u^9 = (v+v^2+v^3+\cdots+v^{10}) +10v^{11}=8.$$
Welke van de twee getallen ($u$ of $v$) is de grootste?