USAMO 1987

Vraag 1

Vind alle gehele $m,n\not=0$ waarvoor $$(m^2+n)(m+n^2)=(m-n)^3.$$

Vraag 2

De voetpunten van de inwendige bissectrices van de driehoek $\triangle ABC$ vormen een rechthoekige driehoek. Als de rechte hoek zich in $X$ bevindt en $AX$ de bissectrice van $\angle A$ is, vind dan alle mogelijke waarden van $\angle A$.

Vraag 3

$X$ is de kleinste verzameling van veeltermen $p(x)$ zodat $x\in X$ en $r(x)\in X \Rightarrow xr(x), x+(1-x)r(x)\in X$. Toon aan dat als $r(x),s(x)$ verschillende elementen zijn van $X$, dan $r(x)\neq s(x)$ voor alle $0

Vraag 4

$M$ is het midden van $XY$. De punten $P$ en $Q$ liggen op een rechte door $Y$ (elk aan één kant van $Y$) zodanig dat $|XQ|=2|MP|$ en $\frac12 |XY|<|MP|<\frac32 |XY|$. Voor welke waarde van $\frac{|PY|}{|QY|}$ is $|PQ|$ minimaal?

Opmerking: een infimum is ook goed. Het gegeven $|MP|<\frac32 |XY|$ lijkt mij overbodig.

Vraag 5

$a_1,a_2,\ldots,a_n$ is een rij die bestaat uit nullen en enen. $T$ is het aantal drietallen $(a_i,a_j,a_k)$ met $ii$ met $a_i\neq a_j$. Toon aan dat $2T=\sum_{k=1}^nf(k)(f(k)-1)$. Als $n$ oneven is, wat is de kleinste waarde van $T$?