USAMO 1984

Vraag 1 Opgelost!

Twee wortels van de vergelijking $x^4-18x^3+ax^2+200x-1984=0$ hebben als product -32. Vind $a$.

Vraag 2

Kan je voor elke gehele $n>0$ een verzameling van $n$ verschillende natuurlijke getallen vinden zodanig dat het meetkundig gemiddelde van elke niet lege deelverzameling een natuurlijk getal is? Kan je een oneindige verzameling vinden met deze eigenschap (waarbij we dan eisen dat de deelverzamelingen eindig zijn)?

Vraag 3

Zij $A,B,C,D,X$ vijf punten in de Euclidische ruimte zodat $\angle AXB=\angle BXC=\angle CXD = \angle DXA = \theta < 90^\circ$. Vind de kleinst en grootst mogelijke waarde voor $\angle AXC+\angle BXD$ (in functie van $\theta$).

Vraag 4

Een wiskunde-examen bestaat uit twee bladen, elk blad met minimum één vraag en 28 vragen in totaal. Iedere leerling vulde 7 vragen in. Ieder paar vragen werd door precies twee leerlingen beantwoord. Toon aan dat er een leerling is die ofwel geen enkele vraag van het eerste blad, ofwel minimum vier vragen van het eerste blad heeft beantwoord.

Vraag 5

Een veelterm van graad $3n$ neemt de waarde 2 aan in $0,3,6,\ldots,3n$, de waarde 1 in $1,4,7,\ldots,3n-2$ en de waarde 0 in $2,5,8,\ldots,3n-1$. De waarde in $3n+1$ is 730. Bepaal $n$.