USAMO 1979

Vraag 1 Opgelost!

Vind alle 14-tallen van (niet noodzakelijk verschillende) natuurlijke getallen waarvoor de som van de vierdemachten 1599 is.

Vraag 2

Onderstel dat de aarde een perfecte bol was. Zij $N$ de noordpool. $A$ en $B$ zijn twee punten op een grote cirkel door $N$ die even ver van $N$ liggen. $C$ is een punt op de evenaar. Toon aan dat de grote cirkel door $C$ en $N$ de hoek $\angle ACB$ snijdt in de sferische driehoek $ABC$ (een sferische driehoek heeft grote cirkelbogen als zijden).

Vraag 3 Opgelost!

Zij $a_1,a_2,\ldots,a_n$ een willekeurige rij van natuurlijke getallen. Een willekeurig element van de rij wordt gekozen, en zijn waarde is $a$. Een ander element van de rij wordt willekeurig gekozen, onafhankelijk van het eerste, en de waarde is $b$. Nog een derde willekeurig en onafhankelijk, met waarde $c$. Toon aan dat de kans dat $a+b+c$ deelbaar is door 3 minimum $\frac14$ is.

Vraag 4

Zij $[OA$ en $[OB$ niet-evenwijdige halfrechten door een punt $O$, en zij $P$ een punt in het vlak waarvoor $[OP$ tussen $[OA$ en $[OB$ gelegen is.Construeer punten $Q\in [OA$ en $R\in [OB$, collineair met $P$, waarvoor $$\frac1{|PQ|}+\frac1{|PR|}$$ maximaal is.

Vraag 5

De verzameling $X$ heeft $n$ elementen. Gegeven $n+1$ deelverzamelingen van $X$, elk met drie elementen, toon aan dat we er altijd twee kunnen vinden met precies één gemeenschappelijk element.