rij
Opgave - USAMO 1979 vraag 3
Zij $a_1,a_2,\ldots,a_n$ een willekeurige rij van natuurlijke getallen. Een willekeurig element van de rij wordt gekozen, en zijn waarde is $a$. Een ander element van de rij wordt willekeurig gekozen, onafhankelijk van het eerste, en de waarde is $b$. Nog een derde willekeurig en onafhankelijk, met waarde $c$. Toon aan dat de kans dat $a+b+c$ deelbaar is door 3 minimum $\frac14$ is.
- login om te reageren
Oplossing
Stel $x$ is het aantal $a$'s met rest $0$ modulo $3$, $y$ die met rest $1$ en $z$ die met rest $2$.
De mogelijkheden zijn: 3 keer rest 0, 3 keer rest 1, 3 keer 2 of rest 1,2 en 3. Die laatste moeten we $3!=6$ keer nemen.
de uitspraak is dan gelijkwaardig met $x^3+y^3+z^3+6xyz\geq\frac14(x+y+z)^3$.
Dit uitwerken en herschikken levert $x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y)\ge0 \ge -3xyz$ wat steeds waar is voor $x,y,z\geq0$ wegens de ongelijkheid van Schur.
Gelijkheid geldt alleen als er $2$ waarden gelijk zijn en de derde gelijk aan $0.$