USAMO 1974

Vraag 1 Opgelost!

Zij $p(x)$ een veelterm met gehele coëfficiënten. Toon aan dat er geen oplossingen bestaan voor de vergelijkingen $p(a)=b,p(b)=c,p(c)=a$ met $a,b,c$ twee aan twee verschillende gehele getallen.

Vraag 2

Als $a,b,c>0$, bewijs dan dat
$$a^ab^bc^c\geq(abc)^{\frac{a+b+c}3}.$$

Vraag 3

Twee punten in een dunne sferische schelp worden verbonden door een curve die korter is dan de diameter van de schelp. Toon aan dat de curve volledig in 1 hemisfeer ligt.

Vraag 4

$A,B,C$ spelen een reeks spelletjes. Ieder spel is tussen twee spelers. Het volgende spel is tussen de winnaar en degene die niet meedeed in het vorige spel. De reeks eindigt als iemand twee spelletjes gewonnen heeft, en hij is dan de winnaar. $A$ is de zwakste speler, $C$ de sterkste. Iedere speler heeft een vaste waarschijnlijkheid om te winnen tegen een andere speler. $A$ mag kiezen wie er eerst moet spelen. Toon aan dat hij zichzelf tegen $B$ moet laten spelen om meest winstkansen te hebben.

Vraag 5

Een punt binnen een gelijkzijdige driehoek met zijde 1 heeft afstanden $a,b,c$ tot de hoekpunten. De driehoek $\triangle ABC$ heeft $|BC|=a, |CA|=b, |AB|=c$. De punten maken (not sure, check please?) gelijke hoeken met een inwendig punt. Toon aan dat de som van de afstanden van het punt naar de hoekpunten $1$ is.