Home › Archief › Nationale en Regionale Olympiades › Verenigde Staten › USAMO › 1974 › valse veeltermvergelijking

valse veeltermvergelijking

Tags:

Opgave - USAMO 1974 vraag 1

Zij $p(x)$ een veelterm met gehele coëfficiënten. Toon aan dat er geen oplossingen bestaan voor de vergelijkingen $p(a)=b,p(b)=c,p(c)=a$ met $a,b,c$ twee aan twee verschillende gehele getallen.

Oplossing

Ingediend door C|Debry

Stel dat zo'n gehele getallen wel zouden bestaan. Dan zou

$$b-a\ |\ p(b)-p(a) = c-b\ |\ f(c)-f(b) = a-c\ |\ f(a)-f(c) = b-a,$$

en bijgevolg zou $|b-a| = |c-b| = |a-c|$. Dit is onmogelijk, door bijvoorbeeld WLOG $c = \max(a,b,c)$ te nemen en dan op te merken dat $b-a = (c-a)-(c-b) = |c-a|-|c-b| = 0$.