BrMO 2 2004

Vraag 1 Opgelost!

Zij $ABC$ een gelijkzijdige driehoek en $D$ een punt op het lijnstuk $BC$. Een cirkel, die raakt aan $BC$ in $D$, snijdt $AB$ inwendig in $M$ en $N$, en $AC$ inwendig in $P$ en $Q$.
Toon aan dat $BD+AM+AN=CD+AP+AQ$.

Vraag 2 Opgelost!

Toon aan dat er een natuurlijk getal bestaat met de volgende eigenschappen:
(i) de binaire voorstelling van $n$ heeft precies 2004 0'en en 2004 1'en;
(ii) 2004 deelt $n$.

Vraag 3

(a) Zij $a,b,c$ drie reële getallen, met $a+b+c=0$, bewijs dat $a^3+b^3+c^3>0$ als en slechts als $a^5+b^5+c^5>0$
(b) Zij $a,b,c,d$ vier reële getallen, met $a+b+c+d=0$, bewijs dat
$a^3+b^3+c^3+d^3>0$ als en slechts als $a^5+b^5+c^5+d^5>0$.

Vraag 4

Het reële getal $x$ dat ligt tussen 0 en 1 heeft als decimale voorstelling
$$0,a_1a_2a_3a_4\text{...}$$
en heeft volgende eigenschappen: het aantal $\emph{verschillende}$ blokken van de vorm
$$a_ka_{k+1}a_{k+2}\text{...}a_{k+2003},$$
zodat $k$ alle natuurlijke getallen overloopt, is kleiner dan of gelijk aan 2004. Bewijs dat $x$ rationaal is.