gelijkzijdige driehoek
Opgave - BrMO 2 2004 vraag 1
Zij $ABC$ een gelijkzijdige driehoek en $D$ een punt op het lijnstuk $BC$. Een cirkel, die raakt aan $BC$ in $D$, snijdt $AB$ inwendig in $M$ en $N$, en $AC$ inwendig in $P$ en $Q$.
Toon aan dat $BD+AM+AN=CD+AP+AQ$.
- login om te reageren
Oplossing
Laat $BM > BN$ en $CQ > PC$. Laat $AC = BC = x = DC+ BD$. Uit de formules van macht van een punt ten opzichte van een cirkel volgt er nu dat:
$DC^2=PC \cdot CQ = (x-AP) \cdot (x-AQ)$, laat dit resultaat $(A)$ zijn.
Ook volgt:
$BD^2 = BN \cdot BM = (x-AN) \cdot (x-AM) = x^2 - x(AN + AM) +AN \cdot AM$, laat dit resultaat $(B)$ zijn.
Verder volgt volgt ook
$AM \cdot AN = AQ \cdot AP$, laat dit resultaat $(C)$ zijn.
Indien we de bovenstaande gelijkheden van elkaar aftrekken dan krijgen we het volgende:
$DC^2-BD^2= x^2 - x(AP + AQ) +AP \cdot AQ - x^2 + x(AN + AM) - AN \cdot AM$. Uit $(C)$ volgt nu dat:
$(DC+BD) \cdot (DC-BD) = x(AN + AM - AP - AQ) + AN \cdot AM - AN \cdot AM$.
Bijgevolg is:
$x(DC-BD)= x(AN + AM - AP - AQ)$.
Het is duidelijk dat $x \neq 0$, dus:
$DC-BD= AN + AM - AP - AQ$.
Na herschrijven geeft dit het gevraagde, namelijk:
$BD + AM + AN = CD + AP + AQ$.